АО «Научно-технический центр радиоэлектронной борьбы» logo

Статьи

автор

Акционерное общество «Научно-технический центр радиоэлектронной борьбы»

Алгоритмы вейвлет-преобразований на основе процедуры пересечения


avatar author

Автор: Болкунов Александр Анатольевич,

директор «Центра системных исследований и разработок», к.т.н., доцент.

avatar author

Автор: Волков Алексей Витальевич,

преподаватель кафедры Информационной безопасности, к.т.н., майор.

avatar author

Автор: Рюмшин Руслан Иванович,

доцент кафедры Информационной безопасности, к.т.н., доцент.

Эффективность преобразования Фурье для сигналов, не имеющих четкого периодического характера, в значительной мере падает из-за того, что не удается сэкономить объем данных за счет перехода от модели сигнала во временной области [1] к соответствующей модели в частотной области. Для преодоления этой трудности предложен подход, на базе которого возникло целое направление в теории и технике сигналов, получившее название вейвлет-анализ [2, 3]. Не смотря на наличие алгоритмов быстрого вейвлет-преобразования (ВП), применение ВП связано с большими вычислительными затратами и необходимо изыскание возможностей их снижения. Кроме того, актуален поиск методов повышения помехоустойчивости ВП [4], поскольку удаление шумов при ВП связано с «отсечением» детализирующих коэффициентов, что не всегда возможно, поскольку входит в противоречие с выделением характерных особенностей сигнала. Определенные возможности в этих направлениях открывает применение процедуры пересечения * вместо операции умножения в прямом и обратном ВП, где x– это входной сигнал, y – это базис вейвлета, k– коэффициент включения базиса, от значения которого зависит точность преобразований. Замена операции умножения в алгоритмах ВП операцией пересечения позволяет получить выигрыш в скорости цифровой обработке равный * , где – разрядность числа (с увеличением разрядности чисел выигрыш растет) [5, 6]. Предварительный анализ показывает, что от подобной замены также следует ожидать повышения качества и помехоустойчивости данных преобразований.

Целью статьи является оценка возможности применений процедуры пересечения в алгоритмах ВП.

Отличие предлагаемого ВП от традиционного заключается во введении в основные соотношения последнего процедуры пересечения вместо умножения. Возможность такой замены исследовалась путем моделирования в прикладном пакете Mathcad 15.0 на основе схемы, представленной на рисунке 1,

*
Рис.1

где обозначены: 1.1 и 1.2 – блоки пересечения; 2 – блок интегрирования; 3 – блок двойного интегрирования; 4 – блок формирования базиса ВП.

Для анализа выбраны следующие типы вейвлетов: из непрерывных – вейвлет гауссова типа второго порядка или MHAT вейвлет (рис. 2), заданный в виде: * , из ортогональных – дискретный вещественный – HAAR вейвлет (рисунок 3) заданный в виде: * , широко применяемые на практике. Преобразованию подвергался прямоугольный видеоимпульс единичной амплитудой в смеси с нормально распределенным шумом.

*
Рис.2
*
Рис.3

На рисунках 2 и 3 показаны эпюры, где обозначено: а – видеоимпульс единичной амплитуды *, б – сигнал плюс шум, в – детализирующая составляющая MHAT и HAAR вейвлетов, г – аппроксимирующая составляющая HAAR вейвлета.

На основе выбранных вейвлетов конструировался базис с помощью масштабных коэффициентов *переносов *, материнских вейвлетов * и скейлинг-функции *(для вейвлета). Тогда прямое вейвлет-преобразование(ПВП) и обратное вейвлет-преобразование(ОВП) сигнала * на основе процедуры пересечения принимает вид:

*


*

где * - нормирующий коэффициент, * – коэффициент включения базиса.

Моделирование ПВП и ОВП на основе операции умножение проводилось с использованием известных соотношений [4].

Параметры моделирования * и * задавались одинаковыми для разных базисов, в тоже время такими, чтобы обеспечить сокращение вычислительных затрат и при этом достаточную достоверность оценки.

Результат ПВП на умножении и пересечении для HAAR и MHAT вейвлетов при различных масштабных коэффициентах * представлен на рисунке 4 и 5, где эпюра a соответствует масштабному коэффициенту *; б – для a =7; в – для a =5; г – для a =3; д – для a =1.

Из анализа результатов моделирования (рисунки 4 и 5) можно сделать очевидный вывод, о том, что качество ПВП зависит от количества используемых масштабных коэффициентов. Кроме того уровень шумов ПВП на пересечении ниже, чем на умножении, что говорит о повышенной помехоустойчивости модифицированного ВП.

*
Рис.4


*
Рис.5

Результаты ОВП для HAAR и MHAT вейвлетов представлены на рисунках 6 и 7, где эпюра а соответствует масштабным коэффициентам a = 1–10; б – для а = 2-10; в – для a = 3–10; г – для a =4–10; д – для a =5–10; e – для a = 6–10; ж – для a = 7–10.

*
Рис.6


*
Рис.7

Вид восстановленных сигналов крупным планом при использовании первых десяти масштабных коэффициентов приведен на рисунках 8 и 9.

*
Рис.8


*
Рис.9

На рисунках 8 и 9 обозначено: 1 – восстановленный сигнал с использованием пересечения; 2 – восстановленный сигнал с использованием умножения; 3 – исходный сигнал.

Рассмотренный пример декомпозиции и реконструкции сигнала на основе HAAR и MHAT вейвлетов свидетельствует о принципиальной возможности замены процедуры умножения в ВП процедурой пересечения, применение которой позволяет повысить качество и скорость преобразования. Необходимо так же заметить, что применение процедуры пересечение в ПВП и ОВП дает то же качество восстановления при меньшем числе коэффициентов.

Результаты количественной оценки помехоустойчивости представлены на рисунке 10.

*
Рис.10

На графиках рисунка 10 представлена зависимость выигрыша В в относительных единицах в отношении сигнал/шум от числа используемых при восстановлении масштабных коэффициентов а при организации ПВП и ОВП на пересечении по сравнению с умножением. Выигрыш имеет место во всем рассматриваемом диапазоне значений а и наиболее сильно проявляется (более чем в два раза) при использовании большего количества коэффициентов. Этот результат важен особенно в том случае, когда невозможно исключение мелкомасштабных коэффициентов при ОВП.

Поскольку качество восстановления, как и сама возможность применения процедуры пересечения, зависит от коэффициента включения элементов базиса k(1), необходима оценка этой связи. Результаты исследования этой зависимости представлены на рисунках 11 и 12.

*
Рис.11


*
Рис.12

На рисунках 11 и 12 обозначено: 1 – погрешность восстановления прямоугольного видеоимпульса в процентах при использовании в ПВП и ОВП первых десяти масштабных коэффициентов для организации вейвлет-преобразования на пересечении в зависимости от коэффициента включения, взятого как целая степень числа два; 3 – погрешность восстановления при организации вейвлет-преобразования на умножении; 2 – разность указанных погрешностей или степень соответствия вейвлет преобразования на умножении преобразованию на пересечении.

Таким образом, результаты анализа соответствия ПВП и ОВП, на основе операции умножения и процедуры пересечения, а также сравнение количественных оценок качества восстановления сигнала показывают:

- ВП на основе процедуры пересечения позволяет повысить качество и скорость преобразования;

- применение процедуры пересечения в ПВП и ОВП дает то же качество восстановления при меньшем числе коэффициентов, что говорит о повышенной помехоустойчивости преобразования;

- анализ зависимости качества восстановления сигнала от коэффициента включения базиса показал приемлемые результаты при *

Необходимо заметить, что подобный результат получен при использовании и других типов вейвлетов (вейвлет Морле, FHAT и сигналов.

Список литературы

  • 1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2003. – 463 с.
  • 2. Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. – СПб.: ВУС, 1999. – 204с.
  • 3. Грибунин В.Г. Введение в вейвлет-преобразование. – СПб.: АВТЭКС, 1999. – 59с.
  • 4. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов: Учебное пособие.– М.: САЙНС-ПРЕСС, 2003.– 80с.
  • 5. Гордиенко В.И. Алгоритмы обнаружения сигналов на основе понятия скалярное пересечение // Радиоэлектроника. Изв. ВУЗов. – 1992. – №7.
  • 6. Гордиенко В.И., Дубровский С.Е., Рюмшин Р.И., Фенев Д.В. Универсальный многофункциональный структурный элемент систем обработки информации. // Радиоэлектроника. Изв. ВУЗов,- № 3, 1998.-С. 12-20.